Om vi håller oss till fritt tillgängliga (gratis) digitala arkiv så är en bra början kyrkoarkiven i Riksarkivet:
https://sok.riksarkivet.se/kyrkoarkivEftersom du har din farfars födelsedatum och -församling är födelseboken för Katarina församling en given startpunkt. Där hittar man Karl Anton Bernhard som nummer 34:
https://sok.riksarkivet.se/bildvisning/00006817_00034Han föddes alltså utom äktenskapet som son till Hildegard Viktoria Karlsson, boende Kocksgatan 45. Uppgift om vem som var fadern saknas.
I de flesta församlingar hade man med hjälp av adressen kunnat hitta mor och son i församlingsboken. Men Stockholm är lite speciellt: församlingarna var så stora att de delades upp i rotar som var för sig hade foölkbokföringsregister. Man kan söka i rotemansarkivet här:
https://sok.stadsarkivet.stockholm.se/Rotemannen2012/Search.aspxSöker man där efter Hildegard Viktoria Karlsson får man 16 träffar på tre olika personer (olika födelsedatum). Det visar sig dock snart att den Hildegard Viktoria som föddes 1882-05-08 är rätt person. I posten som gäller åren 1903-04 finns nämligen Karl Anton Bernhard med i hushållet.
Jag kan då välja en äldre post, 1883-85, och klicka på "Samma hushåll" i vänsterspalten. Här har jag Hildegard Viktorias familj, hennes far Ola Ingel Karlsson, hennes mor Ingelöf född Nilsdotter, och hennes syskon. Där kan jag också få informationen att Ola var född i Fridlevstads församling, Blekinge, och Ingelöf i Listerby församling, Blekinge. Jag kan då gå till de församlingarnas födelseböcker och hitta deras föräldrar.
Men vart tar Hildegard Viktoria vägen? Jag klickar på hennes namn och sedan på "Samma individ" i vänsterspalten. Jag kan då följa henne genom åren och notera att hon som ogift får ytterligare fyra barn: Karin Elisabet född 1905, Aina Viktoria född 1906, Hildur Vilhelmina född 1911 och död 1912 och Edvin Lennart född 1916. I den post som avser 1919-26 har hon 1915 gift sig med kopparslagaren Otto Edvin Andersson, född i Katarina församling 1883. Där finns också tre av barnen: Karin Elisabet, Karl Anton Bernhard och Edvin Lennart. Hildur Vilhelmina dog alltså i späd ålder, och för Aina Viktoria finns en notering att hon blivit "inlöst" på Allmänna Barnhuset på fattigvårdens bekostnad.
Att följa din farfar vidare är krångligt eftersom Stockholmsförsamlingarna saknar sedvanliga församlingsböcker. Man får ta hjälp av mantalslängderna:
https://sok.stadsarkivet.stockholm.se/Databas/register-till-mantalslangder-och-mantalsuppgifter-1901-1935/SokHär kan man i 1925 års register hitta springgossen Karl Anton Karlsson född 1902-01-17, boende Fleminggatan 12:
https://sok.stadsarkivet.stockholm.se/Bildarkiv/Egenproducerat/Allm%C3%A4nna%20registret/Allm%C3%A4nna%20registret%201901-1935%20pdf/Allmreg19011935_0765.pdf1930 finns han som f. d. springgosse, samma adress:
https://sok.stadsarkivet.stockholm.se/Bildarkiv/Egenproducerat/Allm%C3%A4nna%20registret/Allm%C3%A4nna%20registret%201901-1935%20pdf/Allmreg19011935_0905.pdf1935 står han som f. d. banarbetare, boende Viktor Rydbergsgatan 10:
https://sok.stadsarkivet.stockholm.se/Bildarkiv/Egenproducerat/Allm%C3%A4nna%20registret/Allm%C3%A4nna%20registret%201901-1935%20pdf/Allmreg19011935_1060.pdfVart han sedan tar vägen är svårare att säga något med hjälp av fritt tillgängliga register.
I Arkiv Digital (som kräver prenumeration) går det att få fler uppgifter. Karl Anton Bernhard gifter sig 1929 med Lilly Linnea Viola, född Rosenqvist i Sala 1904-01-10, som blir din farmor.