Hej Inga!
De förefaller ju ha inflyttat från en ort/socken, som börjar på Vester-. Men det ser inte ut som Vestervik (i så fall måste det andra v-et ha blivit mycket högt), Vestersrum (Västrum), Västra Ed eller Västra Ryd. Efter Vester- ser det ju ut att komma en bokstav med stapel; t.ex. h eller k. Men jag kan inte komma på någon socken i trakten som skulle kunna passa. Det skulle i så fall vara Misterhult, förutsatt att första bokstaven inte alls är något V, utan ett M (i så fall ofullständigt). Är det säkert att det är en socken? De kommer ju från Värna resp. Björsäter, men däromkring finns ju inte heller något tänkbart.
Jag är inte säker på att Petter Persson är någon son. En Anders Hagström kan näpperligen få en son vid namn Petter Persson. Det skulle i så fall vara styvson. Det som står före namnet, tvärs över det grova strecket skulle faktiskt kunna börja med: Stiu... Står det Persson förresten? Jag tycker att det verkar vara ett längre namn. Om det står Andersson skulle det ju faktiskt kunna vara en son. Men när är han född? 1751? 1781? Nej, det är för svårläst. Han kommer i varja fall inflyttande ifrån Halling, som troligen är Hallingeberg, som du redan har förmodat.